第5章集合的基本概念及其运算

5.1 集合与元素

集合、元素：通常用大写英文字母表示集合，用小写英文字母表示元素，元素和集合的属于关系是集合论的一个基本关系。
- 集合中元素无次序
- 集合中元素不考虑重复出现
- 如果对象 a 在集合 A 中，则称 a 是A 的元素，或者 a 属于 A，记为，否则记为。
- 表示方法：枚举法、抽象法
常用集合：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集、素数集
抽象原则：
- 任给一个性质，确定唯一一个集合，满足该性质的对象都在中，不满足该性质的对象都不在中，也就是说集合是由使为真的所有元素构成的集合，也就是集合是由具有性质的所有对象构成的整体。即
- 即假设为给定一元素，则为真的充要条件是，则为假的充要条件是，

外延公理：设为任意两集合，当且仅当两集合都含有相同的元素时，称和相等，记为。
子集：若集合的元素都是集合的元素，则称是的子集，也称包含于，或者包含，记为或。
真子集：若且，则称是的真子集，也称真包含于，或者真包含，记为或。
定理5.1：设 A 和 B 是两个集合，则当且仅当且。
推论：对于任意集合，。
定理5.2：设 A , B, C 是集合，若且，则。
全集：如果所讨论的集合都是集合的子集，则称为全集， , 为任意谓词。
空集：不含任何元素的集合称为空集，记为。如 $＝，为实数$
- 定理5.3：空集是任意集合的子集
- 定理5.4：空集是唯一的
单元集、n元集、有穷集、无穷集
- 单元集：含有一个元素的集合
- n元集：含有各元素的集合
- 有穷集：由有限个元素构成的集合
- 无穷集：由无限个元素构成的集合

集合恒等式
- 集合代数满足对偶定理：在不含和的恒等式中，将和互换，和互换，得到的仍然是恒等式
- 将不含和的命题逻辑等值式中的换为，换为，换为，换为，换为，换为，换为，就得到集合恒等式

集合恒等式 A=B的证明方法

广义并、广义交
- 广义并：的所有元素的并集
  若，则至少是的某个元素的元素
- 广义交：若，的所有元素的交集
  若，则必须是的每个元素的元素
有时将集合族的元素表示为带角标的集合，如，称为角标集。这里角标集可以是空集，有穷集，也可以是无穷集。
也将记为，将记为

集合归纳定义的三个组成部分

基础语句：直接规定某些对象是该集合的元素。这保证了所定义的集合是非空的,同时也规定了构造集合的原子元素。
归纳语句：规定由已知元素得到新元素的办法。
极限语句：限定集合的范围，规定了哪些对象不是该集合的元素，保证了定义的集合是唯一的
极限语句常省略不写
非负偶数集 E 可归纳定义如下：
基础语句 0\in E,
归纳语句若 n \in E, 则 n + 2 \in E 。

字母表（符号集）：符号的有穷非空集合称为字母表，通常用表示，称中元素为符号或字母
上的字或串：在上的字或串是一个有限长的字符串，其中每一个字符都是字母表中的元素。
长度：上字 x 中含有的符号个数称为 x 的长度，记为 | x |。
空串：长度为 0 的字称为空串，记为。显然对任一字母表，都是上的字符串。
连接：字母表上的字 x 和 y 的连接是将 y 接在 x 后面得到的字，记为 xy 。
连接运算满足结合律，即。
连接运算不满足交换律，如设，，则，而，。
对于任意字x，
所有上字的集合可归纳定义如下：
所有上非空字的集合可归纳定义如下：

显然，
设，，则串定义如下：
1. ，
2. 。
称的子集为上的语言
上的语言 A 和 B 的乘积

乘积运算满足结合律
乘积运算不满足交换律
定义5.20 设，，定义如下：
1. ，
2. 。
  是语言A本身n次乘积的结果。
定理5.13
定理5.14：设， m 和 n 是自然数。
3. 若，则。
设A是的子集，则
- $＝是自然数$ ，即 $＝＝$ ，集合称为星闭包或简称闭包
- 集合定义为： $＝＝$ ，集合称为A的正闭包
定理5.15