第八章 参数估计
8.1 参数的点估计
8.1.1 矩估计法
用样本矩估计相应的总体（随机变量）矩。
只要总体的 阶矩存在，样本 阶矩依概率收敛于相应的总体 阶矩。
具体过程
设总体 的分布函数为 ，未知参数为 .
-
求出总体矩： 或 ；
-
对总体进行随机抽样，设 为来自于总体 的样本， 为样本值；
-
构造样本矩：；
-
由于：；
-
联立并解方程组求出 .
8.1.2 极大似然估计法
基本思想
根据样本的具体情况，选择总体参数的估计，使得该样本发生的概率最大。
定义1
若 是离散型随机变量，分布律 形式已知，参数 未知， 为样本 的样本观察值。
取到 的概率：
选取总体参数 的估计值 ，使得此概率达到最大，即 达到最大值。
称为极大似然函数。
定义2
若 是连续型随机变量，概率密度函为 ，其中 为未知参数， 落在点 邻域内的概率为
选取总体参数 的估计值 ，使得此概率达到最大，即 达到最大值。
称为极大似然函数。
定义3
如果似然函数 在 时达到最大值，则称 是函数 的极大似然估计值
要使 达到最大值， 必须满足
通常由 求得
8.2 点估计的优良性
8.2.1 无偏性
定义
设 （简记为 ）为未知参数 的估计量，若 （真值），则称 为 的无偏估计。
8.2.2 最小方差无偏估计（有效性）
定义
设 是 的一个无偏估计，若对于 的任一无偏估计 ，成立：
则称 是 的最小方差无偏估计。
若 和 都是无偏估计量，且 ，则称估计量 较 有效，或较佳，或较优。
8.2.3 一致估计（相合性）
定义
设 为未知参数 的估计量，若 依概率收敛于 ，即对任意的 ，则称 为 的一致性估计。
8.3 区间估计
8.3.1 置信区间
设总体分布含有一未知参数 ，又 为来自于总体的样本，若对给定的 ，统计量 和 满足：
则称区间 为 相应于置信度是 的置信区间，简称置信区间。
分别称为置信下限和置信上限。
注
- 统计量 和 是随机变量，区间 是置信区间。
对于 ，区间 是普通区间。
-
较小时，随机区间以较大的概率包含
-
置信区间的长度意味着误差，因此越小越好
8.3.2 单侧置信限
若对于给定的 ，统计量 满足 ，则称区间 为 相应于置信度是 的单侧置信区间，称 为置信度为 的单侧置信下限。
若对于给定的 ，统计量 满足 ，则称区间 为 相应于置信度为 的单侧置信区间，称 为置信度为 的单侧置信上限。
8.4 正态分布均值和方差的区间估计
8.4.1 均值 的区间估计
1.方差 已知，对 进行区间估计
设总体 ，其中 已知，又 为来自于总体的样本。
求出统计量 使：
标准正态分布 的 分位点
定义
设 是一个标准正态随机变量，给定 ，若存在唯一的 ，使得：
称 为标准正态分布的 分位点（或 分位数），简称分位点。
分位点的性质：
有：
- 或
- 或
- 或
对于给定的 ，标准正态分布的双侧分位点 ，使：
即：
区间 为 的置信度为 的置信区间
2.方差 未知，对 进行区间估计
设 为正态总体 的一个样本，由于 未知，用样本方差 来代替总体方差
对给定的 ，可得 分布的双侧 分位点 ，使得：
故均值 的置信区间：
8.4.2 方差 的区间估计（总体均值未知）
设总体 是总体的样本，令：
对给定的 ，得 分布的临界值 及
当总体 的参数 未知，方差 的置信区间为：
注1：
选取的临界值 不是唯一的。
注2：
的置信区间是
