第四章 随机变量的函数分布

4.1 离散型随机变量的函数分布

4.1.1 一维离散型随机变量的函数分布律

定理

设离散型随机变量 的分布律为

1. 若对于 的不同取值 ， 的取值 也不同，则随机变量 的分布律为：

2. 若对于 的有限个或可列无穷多个不同的取值 ，有 ，则有

4.1.2 二维离散型随机变量的函数分布律

定理

设离散型随机变量 的分布律为

1. 若对于 的不同取值 ，随机变量 的取值 也不同，则随机变量 的分布律为：

2. 对于 的有限个或可列无穷多个不同取值，有，则

4.2 一维连续型随机变量的函数分布

定理

设连续型随机变量 的概率密度为 ，函数 再区间 上严格单调，其反函数 ，有连续导数，则 是一个连续型随机变量，其概率密度为：

其中 为 的值域。

在区间 上严格单调递增，

在区间 上严格单调递减，

若函数 不是严格单调的，但是在不相重叠的区间 上逐段严格单调，其反函数分别为 ，而且 均连续，则 是一个连续型随机变量，其概率密度为：

其中， 是使得 连续的 的集合。

4.3 二维连续型随机变量的函数分布

一般方法：

几个具体函数的分布：

• 的分布
• 的分布
• 的分布

4.3.1 的分布

设二维连续型随机变量 的概率密度为 ，则 是连续型随机变量。

4.3.2 的分布

设 的概率密度为 ，分布函数为 ，对任意实数 ， 的分布函数

的概率密度

4.3.3 的分布

设 的概率密度为 ，分布函数为 ，对任意实数 ， 的分布函数

的概率密度