第十一章 平稳过程

11.1 严平稳过程

11.1.1 严平稳过程的定义

对于任意实数 ，如果随机过程 的任意 维分布满足：

（严平稳条件）

则 称为严，强或狭义平稳过程。

若参数 表示“时间”，则严平稳过程的任何有限维概率分布不随时间的平移而变化。

11.1.2 严平稳过程的性质

1. 状态离散的随机过程 的严平稳条件

2. 状态连续的随机过程 的严平稳条件

3. 特殊地，取

   • 一维分布函数
   • 二维分布函数

• 一维分布函数 ：不依赖于参数

• 二维分布函数 ：仅依赖于参数间距 ，而与 本身无关

11.2.3 严平稳过程的数字特征

定理

设 是严平稳过程，如果过程的二阶矩存在，那么

• 均为常数，与参数 无关；
• 仅依赖于

注：

这一性质也称为数字特征的平稳性

11.2 宽平稳过程

11.2.1 宽平稳过程的定义

设随机过程 ，对于任意 ，满足：

2. 是常数
3. 仅依赖于 ，而与 无关

则称 为宽，弱或广义平稳过程，简称平稳过程。

参数集 为可列集的平稳过程，又称为平稳序列，或称平稳时间序列。

11.2.2 严平稳过程与宽平稳过程的关系

1. 宽平稳过程不一定是严平稳过程
2. 严平稳过程不一定是宽平稳过程
   • 存在二阶矩的严平稳过程必定是宽平稳过程

二阶矩 存在的随机过程称为二阶矩过程。

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两个平稳过程的关系：平稳相关

设 和 是两个平稳过程，如果互相关函数 仅是参数间距 的函数，则称 和 平稳相关，或称它们是联合平稳的。此时：

定义：

称为标准互协方差函数。

11.3 正态平稳过程

11.3.1 正态过程的概念

1. 正态随机变量的有关知识

一维正态随机变量 ，概率密度

二维正态随机变量

维正态分布 的概率密度

其中：

协方差矩阵

2. 正态过程的定义

如果随机过程 ，对任意正整数 ，， 服从正态分布，则称 为 正态过程，又称高斯(Gauss)过程。

3.

设 为正态过程，则：

4. 独立正态过程：

如果 是正态过程，同时又是独立过程，则称 为独立正态过程。

5.

正态过程 ，如果 是可列集，，记 ，那么 是正态序列。

6. 正态过程是二阶矩过程

设 是正态过程， 服从正态分布，则：

必存在，即二阶矩存在。

11.3.2 正态平稳过程

1. 定义

如果正态过程 又是（广义）平稳过程，则称 为正态平稳过程。

2. 定理

设 是正态过程，则 为严平稳过程 宽平稳过程。

11.4 遍历过程（经历过程）

11.4.1 时间均值和时间相关函数

设随机过程

固定 ，样本函数 ， 在区间 上的函数平均值定义为：

在 上的函数平均值定义为：

当 变化时，

是随机过程 对于参数 的平均值，称为随机过程 的时间均值。

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，有：

称为随机过程 的时间相关函数。

随机过程

11.4.2 各态遍历性

1. 定义

设 是一个平稳过程， 或

1. 如果
   则称过程 的均值具有各态遍历性；
2. 如果
   则称过程 的自相关函数具有各态遍历性

均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程，或者说，该过程具有遍历性。

2. 平稳过程均值各态遍历性的判别定理

引理：

设 是一个平稳过程，则它的时间均值的数学期望和方差分别为：

均值各态遍历性判别定理：

平稳过程 的均值具有各态遍历性的充要条件是：