第六章 大数定律和中心极限定理

6.1 大数定律

6.1.1 马尔可夫不等式

设随机变量 存在 ，，则对任意 ，成立：

6.1.2 切比雪夫不等式

设随机变量 存在 和 ，则对任意 ，成立：

固定 时， 越小， 越小

• 理论上证实：方差度量随机变量取值偏离均值的偏移程度。
• 方差估计 “尾概率”

定义

依次列出可数无穷多个随机变量

简记为 ，称为随机（变量）序列。

定义

对于随机（变量）序列 和随机变量 （或常数 ），若对任意 ，有

则称随机（变量）序列 依概率收敛于 （或常数 ），简记为：

6.1.3 切比雪夫弱大数定律

设 是相互独立的随机变量，每一个 都存在 和有限的 ，且方差有公共上界，即：

则对任意 ，成立：

推论

若随机变量序列独立，且有相同的数学期望和方差

则对任意 ，有

其中

6.1.4 辛钦弱大数定律

若随机变量序列独立同分布，存在相同的数学期望

则对任意 ，有

其中

6.1.5 贝努里弱大数定律

设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数， 是在每次试验中事件 发生的概率，则对任意 ，有：

表明

事件 发生的频率 依概率收敛于事件 发生的概率。是频率作为概率的估计值的理论依据。

6.2 中心极限定理

6.2.1 独立同分布的中心极限定理

设随机变量 独立同分布，且存在有限的数学期望和方差

为 的标准化随机变量，，则

当 充分大时， 近似服从 ， 近似服从

6.2.2 De Moivre-Laplace 定理

设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数， 是在每次试验中事件 发生的概率，则对任意区间 ，成立：