第九章 假设检验

9.1 假设检验的概念

先对总体的参数或总体的分布形式作某种假设 ，然后由抽样结果推断假设 是否成立。

在数理统计学中，称检验假设 的方法为假设检验。

• 参数的假设检验
• 分布的假设检验

检验假设的理论依据

实际推断原理：

小概率事件在一次试验（抽样）中是不可能发生的

9.2 正态总体均值和方差的假设检验

9.2.1 已知，均值 的双边检验

1. 已知

1. 提出假设：
   原假设备选假设
2. 在 为真时，构建检验统计量
3. 确定检验水平 和拒绝域
   对于给定的检验水平 ，
   则 ，即 是小概率事件，从而，拒绝域：
4. 由样本提供的信息计算 的值，查 表得
   • 若 则拒绝原假设 （ 伪），接受 ；
   • 若 则接受原假设 （ 伪）。
5. 得出结论

假设检验过程中得两类判断错误（判断失误）

1. 当判断 伪（拒绝 ）时，实际情况 真——此为第一类错误（弃真）（概率小于或等于 ）
2. 当判断 真（接受 ）时，实际情况 伪——此为第二类错误（纳伪）（概率为 ）

当样本容量 固定时，犯两类错误的概率大小时相互制约的，即减小其中一个，另一个往往会增大。

通常的实际做法是：设置检验水平 来限制第一类错误（根据具体情况），再尽量减小第二类错误。（增大样本容量 ）

在实际问题中，如何给定检验水平 ，应根据具体情况而定

1. 当拒绝一个属真的假设，即犯第一类错误后果非常严重时，应将 取得小一些，如 等；
2. 当取伪会引起严重后果时，可将 取得适当大一些，如 等。

2. 已知，右边检验

此时样本信息显示

1. 提出假设
   原假设备选假设
2. 构建检验统计量
3. 确定拒绝域
4. 由样本提供的信息计算出
   • 若 则拒绝原假设（ 伪），接受 ；
   • 若 则接受原假设（ 真）
5. 给出结论

3. 已知，左边检验

此时样本信息显示

1. 提出假设
   原假设备选假设
2. 构建检验统计量
3. 确定拒绝域
4. 由样本提供的信息计算出
   • 若 则拒绝原假设（ 伪），接受 ；
   • 若 则接受原假设（ 真）
5. 得出结论

9.2.2 未知时，均值 的假设检验

1. 未知方差，均值为 的假设检验

由于 未知，这时 已不是统计量，因此我们用 的无偏估计量 来代替

1. 提出假设
   原假设备选假设
2. 构建检验统计量
3. 确定拒绝域

从而，拒绝域

4. 由样本计算出 ，然后与 进行比较

• 若 ，则拒绝假设 ，接受
• 若 ，则接受假设

5. 得出结论

2. 未知方差 ，左边检验

事先计算出样本值

1. 提出假设

   原假设备选假设

2. 构建检验统计量

3. 确定拒绝域

从而，拒绝域

4. 由样本计算出 ，然后与 ​ 进行比较

• 若 ，则拒绝假设 ，接受
• 若 ，则接受假设

5. 得出结论

3. 未知方差 ，右边检验

事先计算出样本值

1. 提出假设

   原假设备选假设

2. 构建检验统计量

3. 确定拒绝域

从而，拒绝域

4. 由样本计算出 ，然后与 ​ 进行比较

• 若 ，则拒绝假设 ，接受
• 若 ，则接受假设

5. 得出结论

以上三种检验法均采用了 分布，故又名 检验法。

9.2.3 正态总体方差的假设检验， 检验法

1. 双边检验

1. 提出假设

2. 构建检验统计量

3. 确定拒绝域

从而拒绝域

4. 根据样本值计算

• 若 或 则拒绝假设 ，接受
• 否则接受假设

5. 得出结论

2. 左边检验

1. 提出假设

2. 构建检验统计量

3. 确定拒绝域

从而拒绝域

4. 根据样本值计算

• 若 则拒绝假设 ，接受
• 否则接受假设

5. 得出结论

3. 右边检验

1. 提出假设

2. 构建检验统计量

3. 确定拒绝域

从而拒绝域

4. 根据样本值计算

• 若 则拒绝假设 ，接受
• 否则接受假设

5. 得出结论