第七章 统计量及其分布

7.1 总体与样本

7.1.1 总体与个体

• 总体：具有一定共同属性的研究对象的全体；
• 个体：组成总体的每一个元素

在实际中我们主要关心的是：

研究对象的某一（或某几项）数量的指标 ，它是一个随机变量。

总体：随机变量（数量指标） 的全体取值构成的集合。

总体的分布：随机变量 的分布。

7.1.2 样本值与样本

从一个总体 中，随机抽取 个个体（有放回的重复抽样）：

是一次抽样观察（记录）的结果，称 为总体 的一组样本观察值，简称样本值。

由于抽样的随机性，每次抽样结果是变化的。引入随机变量 ，每次抽样结果看成是随机变量的取值。

称 为来自于总体 的样本容量为 的样本， 是样本 的一组观察值，称为样本值。

1. 总体就是一个随机变量
2. 样本就是 个相互独立的 同分布的随机变量

按机会均等的原则，从总体中选取一些个体进行实验或观察的过程，称为随机抽样。

获得简单随机样本的方法是简单随机抽样。

7.1.3 样本分布

若总体 具有分布函数 ，设 为来自于总体 的样本，则 相互独立，且 的分布函数：

的分布函数称为样本分布，即

7.2 样本矩和统计量

定义

设 为总体 的一个样本， 为一个不含总体未知参数的连续函数，则称 为样本的一个统计量。

7.2.1 样本矩（样本的矩统计量）

设 为来自于总体 的一个样本，称

• 样本均值：

• 样本方差：

• 阶原点矩：

• 阶中心距：

样本矩都是随机变量。

如果 是样本 的一组观察值，则：

分别是 的观察值。

7.2.2 顺序统计量与经验分布函数

设 为来自于总体 的一个样本， （可以有相等的）是样本观察值，将观察值按大小次序排列，得到：

规定 的取值为 ，得到 称为 的一组顺序统计量。

，

记函数：

是一单调不减，右连续函数，且满足 和 ，由此可见， 是一个分布函数，称它为总体 的经验分布函数或样本分布函数。

可作为 的未知分布函数 的一个近似， 越大，近似程度越好。

7.3 统计量的分布

7.3.1 正态总体的样本的线性函数的分布

设总体 ， 是来自于 的一个样本，则样本的线性函数：

特别地，当 时，

均值与总体均值相等，方差等于总体方差的 ， 越大，越向总体均值 集中。

常用结论：

7.3.2 分布

定义

设 相互独立且都服从标准正态分布 ，则 。

称 服从自由度为 的 分布，记为

的（下侧） 分位点：

对于给定的正数 ，使满足 的点 称为 分布的（下侧） 分位点。

性质

定理1:

若 ，则 。

定理2:

若 ，且 与 相互独立，则

定理3:

设 相互独立，且都服从 ，则：

1. 与 相互独立

其中

7.3.3 分布

定义

设 ，且 与 相互独立，随机变量 ，称 服从自由度为 的 分布，记作

分布的密度函数为偶函数。

分布的（下侧） 分位点：

对于给定的正数 ，使满足 的点 为 分布的（下侧） 分位点。

分布的（双侧） 分位点：

定理4:

设 相互独立，且都服从 ，则

定理5:

设 和 分别是从正态分布总体 和 中所抽取的独立样本，则

7.3.4 分布

设 ，且 与 相互独立，随机变量

称 服从自由度为 的 分布，记作

的（下侧） 分位点：

对于给定的正数 ，使满足 的点 为 分布的（下侧） 分位点。