第五章 随机变量的数字特征

5.1 数学期望

5.1.1 离散型随机变量 的数学期望

定义

设 的分布律为：若级数 绝对收敛（即 收敛）
则称级数 为 的数学期望，记为

5.1.2 离散型随机变量 的函数的数学期望

定理

设 ， 是连续函数，随机变量 是离散型随机变量，若级数 绝对收敛，则有

5.1.3 连续型随机变量 的数学期望

定义

设 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛（即 收敛）,则称积分 为 的数学期望，记为

5.1.4 连续型随机变量 的函数的数学期望

定理

设 ， 是连续函数，随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则随机变量 的数学期望

5.1.5 随机向量的函数的数学期望

设 为随机向量， 为连续函数，那么 是一个随机变量。

• 若 为离散型随机变量，其分布律为

  则有

  其中 绝对收敛。

• 若 为连续型，其概率密度为 ，则有

  其中上式绝对收敛。
  边缘分布的期望：特别的，令 ，有 ，即边缘分布的期望，类似令 可得 。所以可以定义随机向量的期望是一个向量 。类似有 维向量的期望即 个边缘分布的期望向量。

5.1.6 数学期望的性质

1. 设 为常数，则有

2. 设 为常数， 为随机变量，则有

3. 设 为任意随机变量，则

4. 设 为相互独立的随机变量，则有

5.2 方差

5.2.1 定义

若 存在，则称其为随机变量 的方差，记为 或 ，即：

称 为 的均方差或标准差

5.2.2 方差的计算公式

方差 ，是 的函数 的数学期望。

1. 若 是离散型随机变量，分布律为：

   则：

2. 若 是连续型随机变量，概率密度为 ，则

3. 简便计算公式

5.2.3 方差的性质

1. 设 为常数，则有
2. 设 为常数， 为随机变量，则有：
3. 设 为相互独立的随机变量，则有
   设 为相互独立的随机变量，则有

5.3 常用随机变量的数学期望和方差

5.3.1 (0-1)分布，

5.3.2 二项分布，

5.3.3 泊松分布，

5.3.4 几何分布

5.3.5 超几何分布

按概率模型，超几何分布是n次无放回抽取到次品个数的概率分布，由抽签原理每次抽到次品服从两点分布 ，其中 ，显然 ，，但 互相不独立。
已知
故有 。
由和的方差公式有

5.3.4 均匀分布，

5.3.5 指数分布，

5.3.6 正态分布

定理1：正态分布的性质

1. 设，则

2. 相互独立

定理2：

设随机变量 相互独立， 是连续函数，设

则 相互独立

5.4 协方差和相关系数

5.4.1 协方差

定义

称数值 为随机变量 与 的协方差，记作 ，即

• 协方差为正，正相关
• 协方差为负，负相关
• 协方差为0，零相关
• 协方差绝对值越大，两个变量同或反向程度也越大

常用计算公式

协方差的性质

5. 若 相互独立，，逆命题不成立

5.4.2 相关系数

定义

称数值 为随机变量 与 的相关系数或标准协方差，记作 或简记作 ，即：

若 的相关系数 ，则称 不相关

引入标准化随机变量 ，则

定理

若 相互独立，则

即：

• 相互独立 不相关
• 不相关 不一定 相互独立
• 特殊情况：对二维正态分布， 相互独立 不相关

性质

2. ，其中 是常数，且 ， 之间以概率 存在线性关系

相关系数 刻画了随机变量 之间的线性关系的近似程度。

越接近1， 越接近线性关系。

柯西不等式

设 为任意随机变量，则

2. 等式成立 存在常数 ，使得

定理

设

• 不相关
• 相互独立

5.5 矩、协方差矩阵

5.5.1 矩

矩是一些数字特征的泛称或总称。

定义

设 是随机变量，

• 若 存在，则称它为 的 阶原点矩
• 若 存在，则称它为 的 阶中心矩

数学期望 是一阶原点矩
方差 是二阶中心矩

此外，定义：

• 阶原点混合矩
• 阶中心混合矩
• 阶原点绝对矩
• 阶中心绝对矩

5.5.2 协方差矩阵

定义

对于 维随机向量 ，

若 存在

则矩阵 称为 的协方差矩阵

协方差矩阵 是一个对称矩阵。

二维正态随机变量

若令

的协方差矩阵为

则有

于是 的概率密度可写成

维正态随机变量

其中