第三章：二维随机变量

3.1 二维随机变量

3.1.1 定义1

设试验 的样本空间为 ，而 是定义在 上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量 为二维随机变量或二维随机向量。

3.1.2 定义2

设 为二维随机变量，对任意实数 ，二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量 与 的联合分布函数。

分布函数 的性质

(1) 定义域：

• 取值范围：

• 特殊值：

(2) 对 或 单调不减

(3) 对 或 右连续

(4) 对任意实数 有

反之：凡是满足性质(1)~(4)的二元函数 必定是某个二维随机变量的分布函数。

3.1.3 定义3

设试验 的样本空间为 ，而 是定义在 上的随机变量， 由这 个随机变量构成的有序随机变量组 称为 维随机变量或随机向量。

设 为 维随机变量，对任意实数 ， 元函数 称为 维随机变量 的分布函数或n个随机变量 的联合分布函数。

3.2 二维离散型随机变量

3.2.1 定义

若二维随机变量 的取值为有限对或可列对 ，则称 是离散型随机变量。

3.2.2 分布律

记

称为二维离散型随机变量 的（概率）分布律，或称为 和 的联合（概率）分布律。

分布律的表示法：（1）公式法；（2）列表法

3.2.3 性质

3.2.4 定理

设 的分布律为

则随机点 落在平面上任一区域 的概率

其中和式是对所有使 的 求和。

3.3 二维连续型随机变量

3.3.1 定义

设二维随机变量 的分布函数为 ,若有非负可积函数 ,使得对任意实数 , 恒有

则称 是二维连续型随机变量，函数 称为二维连续型随机变量 的概率密度，或称为随机变量 和 的联合概率密度。

3.3.2 性质

的概率密度 具有下列基本性质：

2. 
   反之, 若二元函数满足上面两条基本性质，则它一定是某个二维随机变量的概率密度

3. 如果概率密度在点处连续, 则有

3.2.3 用概率密度计算概率

定理：设 的概率密度为 则有：

1. 设 为平面上的任一区域，则：

3.2.4 常用的二维连续型随机变量有下面几种：

均匀分布

若二维连续型随机变量 概率密度为：

其中 为有界区域 的面积。则称 在区域 上服从均匀分布，记为

二维正态分布

若随机变量 概率密度为

其中 的二维正态分布，记作

3.3 边沿分布函数（或边缘分布函数）

定义：

设二维随机变量 的分布函数 （分量 与 的联合分布函数）

分量 的分布函数：

称 为 关于 的边沿分布函数。

分量 的分布函数：

称 为 的边沿分布函数。

注：

已知联合分布函数 ，可以计算出边沿分布函数

但由 各自的分布函数 ，一般无法确定联合分布函数

3.3.1 边沿分布律

定义：

二维离散型随机变量 ，分量 和分量 都是离散型随机变量， 的分布律称为 关于 的边沿分布律； 的分布律称为 关于 的边沿分布律；

边沿分布律的计算：

关于的边沿分布律：联合分布律表中各行概率相加。

关于的边沿分布律：联合分布律表中各列概率相加.

3.3.2 条件分布律

在已知一个分量取某一定值的条件下，另一个分量的分布律称为条件分布律。

定义

设二维离散型随机变量 的分布律为：

(1) 若

称为在 的条件下， 的条件分布律。

(2) 若

称为在 的条件下， 的条件分布律。

3.4 边沿概率密度和条件概率密度

3.4.1 边沿概率密度

二维连续型随机变量 的概率密度为 则

• 关于 的边沿概率密度为

• 关于 的边沿概率密度为

3.4.2 条件概率密度

3.5 相互独立的随机变量

设 为两个随机变量，若对任意实数 ，有

则称 与 相互独立，简称独立。

3.5.1 离散型随机变量相互独立的判别定理

设二维离散型随机变量 的分布律为：

则 与 相互独立的充要条件：

3.5.2 连续型随机变量相互独立的判别定理

设二维连续型随机变量 的概率密度为，分别是 关于 和 的边沿概率密度。

则 与 相互独立的充要条件为：