第一章：随机事件的概率

1.1 随机事件与样本空间

1.1.1 试验

确定性实验或必然试验
随机试验（简称试验）：用字母或表示
- 在相同条件下可以重复进行
- 每次实验的结果不止一个，但能事先明确可能出现的结果范围
- 每次试验之前不能准确预言哪个结果会出现

1.1.2 随机事件

随机事件（简称事件）
- 在试验中可能发生也可能不发生的结果
- 用字母或字母表示
基本事件：试验中每一个可能的结果，是最简单的随机事件
- 常用小写字母或表示
- 随机事件是由若干个基本事件组成的
- 随机事件发生组成这一随机事件的一个基本事件发生
必然事件：在试验中必然发生的事件，记为或
不可能事件：不可能发生的事件，记为

（必然事件和不可能事件不是随机事件，当作特殊的随机事件）

1.1.3 样本空间（集合论）

定义：试验的全部基本事件组合成的集合，称为试验的样本空间，记为或
- 试验的基本事件：是样本空间的元素（样本点）
- 随机事件是样本空间的子集
- 不可能事件表示空集，必然事件表示样本空间
完备事件组：

若互不相容，且，则称为完备事件组，或称为的一个划分。

1.1.4 随机事件的关系（集合论）

随机事件的关系：

事件的包含：（发生则发生）
事件的相等：
事件的并（和）：或
事件的交（积）：或
事件的互不相容（互斥）：
事件的互逆（相互对立）：
- 称为的逆事件，记为
事件的差：

运算律：

吸收律
重余律
幂等律
差化积
交换律
结合律
分配律
反演律（De Morgan 公式）
和事件分解为互不相容事件的和

1.2 概率的定义及性质

对于事件，如果实数：

表示事件发生的可能性的大小
是事件所固有的

则称为事件的概率。

1.2.1 古典概率

定义：
- 样本空间包含个基本事件，即
- 每个基本事件发生的可能性相等，即
则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。

若事件包含个基本事件，则
排列数记号：
组合数记号：
古典概率的性质：
- 对任意随机事件，；
- ；
- （有限可加性）若事件互不相容，则

1.2.2 几何概率

定义：

设几何概型的样本空间为，是含于在内的任一随机事件，即，则称为事件的概率。
性质：
- 对任一随机事件，；
- ；
- （有限可加性）若事件互不相容，则
- （可列可加性）若事件互不相容，则

1.2.3 概率的统计定义

频率的定义：

设某实验重复做了次，事件共发生了次，则称比值为次试验中事件发生的频率，即

频率的性质
- 对任一随机事件，；
- ；
- 若事件互不相容，则
统计概率的定义：

若随着试验次数的增大，事件发生的频率在某个常数附近摆动，并且逐渐趋于该常数，则称该常数为事件的概率，即。并把这样定义的概率称为统计概率（经验概率）。

概率的近似求法：

1.3 概率的公理化定义

1.3.1 事件域

随机试验，样本空间，设，并满足以下条件：

$，$
若，则
对任意有限个或可列个，都有

也就是说，是一些随机事件组成的集合（且具有一定的构造关系），称为事件域。

1.3.2 概率的公理化定义

设是定义在上的一个实值函数，，并且满足以下三个条件：

对每一个 $，$
对任意可列个互不相容的事件，有

则称为上的概率测度函数，称为事件的概率。

1.3.3 概率的性质

不可能事件的概率为0，即
概率具有有限可加性
对任意事件，有
若，则且
对任意事件有 （推广）

1.4 条件概率与乘法公式

定义：发生的条件下发生的概率：
性质
- 若互不相容，则
- 对任意事件，
乘法公式：
当时

1.5 全概率公式与贝叶斯公式

设事件组满足：

互不相容

全概率公式：

则对任意事件，恒有

贝叶斯公式：

对任意事件，有

1.6 事件的独立性

1.6.1 两个事件的独立性

定义：

对任意两个事件，若：

则称与相互独立，简称独立。

定理：

对任意事件，设，则与独立的充分必要条件是

性质：

概率为或的事件与任意事件相互独立：

概率为的事件不一定是不可能事件
概率为的事件不一定是必然事件

1.6.2 多个事件的独立性

定义：

若事件满足条件：

则称个事件是两两独立的。

若事件满足条件：

则称个事件相互独立。

1.6.3 独立事件的性质

若与相互独立，则

与相互独立
与相互独立
与相互独立

（可推广到多个事件）