1 一维

1.1 离散随机变量&离散分布

离散随机变量：随机变量取值为有限或可数个时，称为离散随机变量。记其值为。特别记，是对应的概率分布，称为概率分布列。

随机变量取值为，满足 $，，$ 为正整数，称其满足泊松分布，记为。
概率模型：大量试验中的小概率事件发生次数。每年发生战争的次数，某一小时进入某邮局的顾客数，寿命超过100岁的人数
数学近似：二项分布B(n,p)，当n大p小，np合适大小时，可用的泊松分布近似计算。
例：设二项分布B(100,0.01)，计算；
用Poisson分布逼近，有，可见误差不大

连续随机变量：（随机变量取值为实数中区间）。特别称是的概率密度函数（probability density)，可以记为，概率密度函数常常简称PDF。
tips：随机变量的取值可能既包含离散值，也包含区间，可以称为混合型随机变量
概率密度函数的性质
- 密度函数的充要条件：
- 分布函数F(x)与密度函数f(x)的关系
  （除有限点）；

如果连续随机变量X的密度函数满足

其 他 情 形

记为。

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如果连续随机变量X的密度函数满足

其 他 情 形

记为。

概率分布函数：
几何分布与指数分布：
模型：小概率事件之间的间隔时间（等待时间）
下一次类似汶川地震发生的时间；人或机器的寿命；排队时间；
指数分布的无后效性：（在指数分布过程中，未来的事件发生概率只与当前时刻有关，与之前的事件无关；对于任意时间点t，事件在未来时间段Δt内发生的概率只依赖于Δt的长度，而与t无关）

排队等待概率：设有两个窗口，两个人正在办理，每个人的办理时间服从指数分布，设你是下一个，则你最后办完的概率为
失效函数（失效率、死亡率）：定义为分布F的失效函数。
解释：寿命到达t时刻后在dt内失效的概率。
指数分布的失效函数为常数，称为死亡率，一般情况下是一个变化的函数

Pasted image 20241010103626.png

如果连续随机变量X的密度函数满足，称X服从参数为的正态分布。记为。
特别称为标准正态分布。记其概率密度函数为。概率分布函数为。

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设离散型随机变量的分布律为

连续型随机变量的概率密度为，函数在区间上严格单调，其反函数，有连续导数，则是一个连续型随机变量，其概率密度为：

$其它$

其中 (c,d) 为 y=g(x) 的值域。
- 在区间 (a,b) 上严格单调递增，h'(y)>0
- 在区间 (a,b) 上严格单调递减，h'(y)<0
若函数 y=g(x) 不是严格单调的，但是在不相重叠的区间 上逐段严格单调，其反函数分别为 $，$ 而且均连续，则是一个连续型随机变量，其概率密度为：

其中，是使得连续的 y 的集合。
正态分布
- 正态分布的线性变换： $设则服从。$
- 折叠正态分布：
  $设则服从。$
- 正态分布的平方分布：
  $设则服从分布，。$

二维连续随机向量：（二维随机向量，二元非负可积函数）。称为联合密度函数。特别：
- 分布函数
- 定理：连续可微的联合分布函数有联合密度函数，所以是连续随机向量。即
二维均匀分布：
二维正态分布：给定二维随机变量，称为方程的二维正态分布，如果其概率密度函数是：
- 参数是均值，是差异
- 是相关系数。